华泰周期起源系列研究之三：周期是不确定性条件下的稳态

谨请参阅尾页重要声明及华泰证券股票和行业评级标准 1 证券研究报告 金工研究/深度研究 2020年03月05日 林晓明 执业证书编号：S0570516010001 研究员 0755-82080134 linxiaoming@htsc.com 陈烨 执业证书编号：S0570518080004 研究员 010-56793942 chenye@htsc.com 刘志成 执业证书编号：S0570518080005 研究员 010-56793940 liuzhicheng@htsc.com 李子钰 执业证书编号：S0570519110003 研究员 0755-23987436 liziyu@htsc.com 何康 021-28972039 联系人 hekang@htsc.com 源洁莹 0755-82366825 联系人 yuanjieying@htsc.com 王晨宇 联系人 wangchenyu@htsc.com 1《金工: 确立研究对象：行业拆分与聚类》2020.03 2《金工: 风险预算模型的预算分配方式研究》2020.02 3《金工: 基于量价的人工智能选股体系概览》2020.02 周期是不确定性条件下的稳态 华泰周期起源系列研究之三 周期是动态的、不确定性条件下的稳态 本文关注一维、二维和高维动力学系统的稳态。动力学系统的意义是刻画事物状态在时空下的变化规律。动力学系统的基本要素包含微分方程、平衡点和稳定性、相图、分岔图、势函数。通过对不同类型动力学系统各要素的分析，得出结论：一维动力学系统的稳态是定点；二维动力学系统的稳态若非定点，便是周期；高维动力学系统的稳态可能是定点、周期或准周期，同时存在特殊的不稳定状态——混沌。对我们来说更有研究价值的是周期，周期代表了动态的、不确定性条件下的稳态。 一维动力学系统的稳态是定点 一维动力学系统的稳态是定点。定性角度看，一维动力学系统的核心是正负反馈。系统局部由负反馈主导时，系统最终趋于静止和稳定；系统局部由正反馈主导时，系统总体趋于发散和不稳定。定量角度看，一维动力学系统的稳定性取决于微分方程在平衡点处的导数。导数小于 0 时，系统最终归于平衡点；导数大于 0 时，系统最终趋于发散，或归于另一个平衡点。 二维动力学系统的稳态若非定点，便是周期 二维动力学系统的稳态若非定点，便是周期。定性角度看，当状态变量相互之间的正负反馈占据主导时，系统趋于周期运动。如果只存在负反馈，系统将归于定点，最终寂灭；如果只存在正反馈，系统将走向发散，最终湮灭。正负反馈的综合才能造就周期。定量角度看，二维动力学系统的稳定性取决于平衡点处微分方程组雅可比矩阵的迹、行列式和判别式，当且仅当判别式小于 0 并且迹等于 0 时，系统展现出稳定的周期性。 正负反馈的综合可能蕴藏着世界周而复始运转的本质 二维动力学系统被认为是理解世间万象的“众妙之门”，正负反馈的综合可能蕴藏着世界周而复始运转的本质。定点的稳态不常见，因为定点往往意味着寂灭。发散的不稳定状态也不常见，因为发散终归会走向湮灭。我们能观察到的长期维持的稳态，往往都以周期或者类周期的形式存在。即使是简单的二维系统，也能模糊地刻画部分周期现象，核心是从系统内拆分出两个对立的变量，捕捉变量之间的正负反馈。自然界种群数量的动态平衡可由捕食者和猎物的二元系统刻画，中国古代的治乱周期可由官僚和民众的二元系统刻画，产业生命周期可由利润率和参与者的二元系统刻画。 高维动力学系统的稳态可能是定点、周期或准周期 高维动力学系统的稳态可能是定点、周期或准周期，同时存在特殊的不稳定状态——混沌。定性角度看，混沌具有“无法预测的确定性”，初始条件的微小扰动会造成系统长期的巨大改变。定量角度看，高维动力学系统通过计算李雅普诺夫指数实现稳定性的判断。李雅普诺夫指数只要存在一个正值，系统即为混沌。经济系统是否为混沌存在争议，我们认为，承认经济系统在一定条件下是混沌，等同于承认经济系统在另一些条件下可能出现定点或周期。对我们来说更有研究价值的是周期，周期代表了动态的、不确定性条件下的稳态。 风险提示：动力学系统模型是对真实世界的简单刻画，存在过度简化的可能；周期规律基于历史数据总结，历史规律可能失效；周期规律对市场长期规律进行研究，无法判断短期的市场情绪与政策冲击带来的影响；市场在某些极端情形下可能出现规律以外的交易风险。 相关研究 金工研究/深度研究 | 2020 年 03 月 05 日 谨请参阅尾页重要声明及华泰证券股票和行业评级标准 2 正文目录 动力学系统的基本要素 ...................................................................................................... 4 微分方程 .................................................................................................................... 4 平衡点和稳定性 ......................................................................................................... 5 相图 ........................................................................................................................... 6 分岔图 ....................................................................................................................... 7 势函数 ....................................................................................................................... 7 一维动力学系统与定点 ...................................................................................................... 9 逻辑斯谛方程 ............................................................................................................ 9 一维动力学系统和正负反馈 ..................................................................................... 12 二维动力学系统与周期 ...........