量化策略专题报告：Zakamouline对冲方法研究之一，求解步骤与效果对比

华泰期货研究所 量化组 罗剑 量化研究员  0755-23614607  luojian@htfc.com 从业资格号：F3029622 投资咨询号：Z0012563 华泰期货研究院 量化组 张纪珩 量化研究员  0755-23993171  zhangjihang@htfc.com 从业资格号：F3047630 华泰期货|量化策略专题报告 2019-05-29 Zakamouline 对冲方法研究之一： 求解步骤与效果对比 摘要： Zakamouline 基于效用的方法，研究了对冲策略的特性，并提出了一个对冲策略共识，它能够保持 Hodges and Neuberger 模型最重要的特性，数值模拟的结果表明，Zakamouline的近似方法显著优于其他方法。也就是说，对于给定的风险水平而言，这个策略实施的成本最小。在理想的情况下，我们希望一个策略可以在各种风险水平上都能显著优于其他策略。 本文根据 Zakamouline 的对冲思想，估算出收益η = η(hw,h0,hσ)与风险𝜌 = 𝜌 (hw,h0,hσ)。通过找到对应不同的风险水平下，最优的 (hw,h0,hσ)值，使得在相同的收益情况下，风险最小。在风险相同的情况下，收益最大。同时模拟卖出一个欧式看涨期权，并用相应的基准对冲策略和 Zakamouline 方法进行模拟测试，以及结果对比分析。 华泰期货|量化策略专题报告 2019-05-29 2 / 12 商品期权对冲 商品期权对冲是一种在减低商业风险的同时仍然能在投资中获利的手法。一般情况下对冲是投资者同时进行两笔行情相关、方向相反、数量相当、盈亏相抵的交易。行情相关是指影响两种商品价格行情的市场供求关系存在同一性，供求关系若发生变化，同时会影响两种商品的价格，且价格变化的方向大体一致。方向相反指两笔交易的买卖方向相反，这样无论价格向什么方向变化，总是一盈一亏。当然要做到盈亏相抵，投资者通过两笔交易的数量大小和各自价格变动的幅度来确定，大体做到数量相当。 对冲有两个作用，一个是用来抵消风险，另一个就是利用差异来获得收益。 不论是场外期权做市商售出期权后对冲 Delta 风险，还是未来场内期权交易可能出现的各类交易策略（如波动率交易），都需要投资者开发出稳健的动态 Delta 对冲策略。由于欧式期权不论看涨还是看跌，Gamma 都大于 0，即卖出期权的做市商或者投资者在 Delta 对冲时都要承担 Gamma 风险带来的损失，如何尽量减少损失一直是业界关注的问题。 经典的 Black-Scholes 模型假设投资者可以连续对冲风险，合约可以分割为任意小，同时交易成本等于 0，而现实中投资者即不可能连续交易，也无法将价值几十万的股指期货合约分割成若干份，更无法将交易成本设为 0，因此学术界也会关注如果 Black-Scholes 模型假设宽松之后，怎样设计出有效的 Delta 对冲策略。特别是交易成本不等于 0 时，毕竟相比于其他条件， 交易成本是最容易放宽的条件，同时交易成本在金融理论上也占有重要位置。至于 Delta 对冲的频率，由于每一次对冲交易都会有误差，而 Gamma 大小与 Delta 对冲频率共同决定了离散 Delta 对冲误差分布的大小，因此通过调整 Delta 对冲频率，交易员能够有效控制风险，将对自己不利的风险敞口尽量减小。 对冲中的 Delta 中性 Delta 为零的状态我们称之为 Delta 中性。而期权对冲中 Delta 不仅仅有大小，还有方向。因此可以将 Delta 风险理解为“方向性”的风险。也就是说，我们无法准确预知标的物究竟上涨还是下跌以及上涨下跌的幅度，故而我们有必要对这一风险进行对冲。 如果期权卖方想在标的物价格波动剧烈的时候不吃亏，则需要不断通过买卖现货来调整对冲仓位，尽量保持总仓位的 Delta 为 0。而投资者不断根据头寸 Delta 而做对冲的手法就是动态 Delta 对冲。 Zakamouline 对冲 Zakamouline 研究了基于效用的对冲策略的特性，并提出了一个对冲策略共识，它能够保持Hodges and Neuberger 模型最重要的特性，数值模拟的结果表明，Zakamouline 的近似方法华泰期货|量化策略专题报告 2019-05-29 3 / 12 显著优于其他方法。也就是说，对于给定的风险水平而言，这个策略实施的成本最小。在理想的情况下，我们当然希望一个策略可以在各种风险水平上都能显著优于其他策略。 使用基于效用的方法，得出 Delta 对冲具有如下函数形式： ∆= 𝜕𝑉(𝛿௠)𝜕𝑆± ൭ℎ௪|𝛤|ఈ +ℎ଴𝑆(𝑇 − 𝑡)൱ 𝜎௠ଶ = 𝜎ଶ൫1 + ℎఙ𝑠𝑖𝑔𝑛(𝛤)(𝑆ଶ𝛤)ఉ൯ 实证结果表明，α ∈ (0.3,0.7),β ∈ (0,0.3)。并且，模拟结果表明，α,β 的选取对模拟结果并没有产生很大的差异。因此 α,β 的选取实际比较任意，为简便，取 α = 0.5,β = 0。因此 Delta 对冲具有如下函数形式： ∆= 𝜕𝑉(𝛿௠)𝜕𝑆± ൭ℎ௪|𝛤|0.5 +ℎ଴𝑆(𝑇 − 𝑡)൱ 𝜎௠ଶ = 𝜎ଶ(1 + ℎఙ𝑠𝑖𝑔𝑛(𝛤)) 我们的目的是通过模拟，并估算出收益 η = η(hw,h0,hσ) 与风险 𝜌= 𝜌 (hw,h0,hσ)，此处收益与风险分别指平均的复制误差与复制误差的方差。通过找到对应不同的风险水平下，最优的 (hw,h0,hσ)值，使得在相同的收益情况下，风险最小。在风险相同的情况下，收益最大。 离散对冲的误差 经典的Black-Scholes模型假设交易员可以连续Delta对冲期权,但在现实中这一点无法实现，除了外汇、黄金等资产在平时是 24 小时交易外，股票、债券都是在当地时间白天来交易，前一日下午收盘，次日上午再开盘，而次日开盘价和前一日收盘价并不相等，有可能是夜间市场发布新的信息，也可能只是纯粹交易误差。总之，对于很多资产而言，价格连续变化的假设是不成立的。此外，Black-Scholes 模型假设交易没有成本，交易员可以无所顾忌的连续交易，而现实中交易是要付出成本的，交易越频繁成本也越大，如果执行所谓的连续交易，那交易员可能要负担超出收入的高额成本。Black Scholes 模型还有一个假设是标的资产可以任意分割，现实中可交易的标的资产是有最小单位的，极端来说，沪深 300 股指期权每份合约价值 6、70 万元，如果挂钩沪深 300 指数的期权合约面额小，那没法频繁调整对冲的期货仓位，因为即使沪深 300 指数涨了 5%，可能对冲所需的期货合约还是没变。基于上述种种理论与现实的矛盾，可以看出交易员很可能无法也不会选择连续对冲，而是选择